Bonding Curves
下面我用比较数学 PhD／形式机制设计＋经济数学的程度，把 bonding curves 的机制、形式化模型、性质、问题，以及一个近年在研究里提出的 “configuration spaces + conservation functions” 框架解释清楚，并给出主要参考文献链接。若你要，我可以再写出更严谨的定理＋证明草稿。
一、Bonding Curve 的严格形式化模型
Bonding Curve 最基本的是一个连续（或至少在正实数上定义）函数，用于把 代币供给量 SS 与 当前代币单位价格 PP 联系起来；同时还有一个 储备（reserve）资产 或资产池 RR，作为买入／卖出代币时的资金流动平台。
符号设定
令 S∈R>0S \in \mathbb{R}_{>0}：现存的、流通中的代币总量（供给）。
令 R∈R≥0R \in \mathbb{R}_{\ge 0}：储备资产余额（例如以 ETH 或某 stablecoin）在智能合约中被锁定。
令 P(S)P(S)：在供应为 SS 时，购买或售出边际代币的单位价格（边际价格或 “spot price”）。
还有一个参数，常叫 reserve ratio 或 reserve weight，记为 FF，或 κ\kappa，或者在某些情况下多个参数，决定曲线的“陡峭度”（sensitivity）。
基本关系与公式
一个经典的例子是由 Bancor 协议 使用的那种 continuous token + constant reserve ratio 模型。下面是这种模型的公式（简化版本）：
边际价格与储备、供应的关系：
P(S)=RF⋅SP(S) = \frac{R}{F \cdot S}
这里 F∈(0,1]F \in (0,1] 是一个常数（储备比率）。当 F=1F = 1，价格与储备／供应线性反比；当 F<1F < 1，则价格会更加敏感于供给变化。
购买代币（“mint”）时：给定投入的储备资产 ΔR\Delta R，获得代币 ΔS\Delta S
通过积分或幂函数可得：
ΔS=S((1+ΔRR)F−1)\Delta S = S \left( \left(1 + \frac{\Delta R}{R} \right)^F - 1 \right)
即如果你存入 ΔR\Delta R，代币供应由 SS 增加为新的 S+ΔSS + \Delta S，价格也随之上升。
售出代币（“burn”）时：烧掉 ΔS\Delta S，得到储备资产 ΔR\Delta R
ΔR=R(1−(1−ΔSS)1/F)\Delta R = R \left( 1 - \left(1 - \frac{\Delta S}{S} \right)^{1/F} \right)
这样定义确保储备足够；也保证买入、卖出操作是对称（在无滑点、手续费、前置条件等情况下）。
这些公式在各种资源中有推导。比如 yos.io 的 “Bonding Curves” 一文里有这些详细公式和例子。 (Yos Riady · Software Craftsman)
二、配置空间（Configuration Space）与守恒函数（Conservation Function）的形式化结构
在较新的研究里（Zargham, Shorish, Paruch 等人，论文 “From Curved Bonding to Configuration Spaces”），他们把 bonding curve 加以更形式化地装入机制设计／状态空间模型中，以便证明某些全局性质（invariants），以限制系统的可能状态空间（configuration space）。下面是这个框架的主要结构和数学内容：
状态空间与变量
他们定义一个系统的状态变量集，包括：
SS：代币供应量
RR：储备余额
PP：spot price（可由 S,RS,R 经函数关系算出）
还有可能的参数 FF 或 “reserve weight / curvature parameter” κ\kappa 等。
所以状态 xx 可以表示为向量，例如：
x=(R,S,P,F)∈Xx = (R, S, P, F) \in \mathcal{X}
其中 X\mathcal{X} 是“全状态空间”。 (WU Wirtschaftsuniversität Wien)
守恒函数／不变量（Conservation Function or Invariant）
他们引入一个不变量函数（conservation function） V(R,S)V(R, S)，用来将状态限制在某条曲线上。一个常见形式是多项式形式：
V(R,S):=SκRV(R, S) := \frac{S^\kappa}{R}
或者等价地：
SκR−1=V0S^\kappa R^{-1} = V_0
其中 V0V_0 在系统初始化时由初始供应 S0S_0、初始储备 R0R_0 决定：
V0=S0κR0V_0 = \frac{S_0^\kappa}{R_0}
这个守恒函数意味着：在所有合法状态里，(R,S)(R,S) 必须满足
Sκ/R=V0S^\kappa / R = V_0
从而，系统的可达状态（即所有可能经过一系列“mint”或“burn”动作后可能到达的 (R,S)(R,S)）构成一个子集，也就是 configuration space。 (WU Wirtschaftsuniversität Wien)
spot price 由守恒函数导出的关系
因为 PP 是边际价格，通常可以由下面这个关系导出（用不变量的导数方式）：
P(S)=dRdSP(S) = \frac{dR}{dS}
联合守恒函数 V(R,S)=CV(R,S)=C （常数）及其定义，可求出 RR 关于 SS 的函数形式，进而得到 P(S)P(S)。例如，如果
R=SκV0R = \frac{S^\kappa}{V_0}
那么：
P(S)=dRdS=κSκ−1V0P(S) = \frac{dR}{dS} = \frac{\kappa S^{\kappa - 1}}{V_0}
这是一个幂函数形式的 bonding curve，其中 κ\kappa 控制价格随着 supply 增长的陡峭程度。若 κ<1\kappa < 1，价格增长是 sublinear（增速减慢），若 κ>1\kappa > 1，是超线性。这个一致对应 “reserve ratio” 或 “reserve weight” 与价格敏感性之间的关系。 (WU Wirtschaftsuniversität Wien)
三、性质、稳定性、问题 —— 数学／机制设计角度
在形式的模型中，有一些关键问题要分析／证明／注意：
液性／储备充足性（Liquidity / reserve adequacy）
要能保证“卖”操作总能被合约处理（用户烧掉代币能拿回储备资产）。即：储备（reserve）必须足够支撑任意规模的赎回操作。通常在模型里假设 “即时赎回”（instant liquidation）成立，或至少赎回某个上界内成立。
在 Bancor 风格的模型中，因为定价函数与储备与供给量的关系确定，所以可以证明在这些公式之下，只要设计得当，储备永远不会被耗尽。若某些 earn 机制或费用／滑点被引入，这个性质可能被破坏。
价格敏感性（Price Sensitivity / Slippage）
根据 κ\kappa 或 reserve ratio 的不同，边际价格对供给的变化有高或低敏感性。敏感度高：小量买入就推动价格上升很多；敏感度低：价格平缓变化。高敏感性可能导致用户买入成本极高，或者卖出滑点大。
供给和价格的连续性与可微性
若公式设计是幂函数或指数函数，需要确认在整个供给域内函数是连续可微，以便积分／导数操作成立。特别是在 “买入／卖出一定量代币” 时积分计算成本或赎回金额要用到这些性质。
平衡／投机行为与反馈循环
在某些设置下，早期买入者获利，晚期买入者成本高，这可能鼓励市场里存在投机行为。除非有机制（例如烧毁、费用、税、治理权稀释、收益分配等）来抑制这种不公平或导致系统不稳定。
配置空间的约束与全局性质
在 Zargham 等人的框架中，通过不变量（conservation function）约束系统状态，能够保证某些宏观性质（如价格弹性、储备与供给比、收益模型）在所有可能路径下成立。这是一种 机制设计中的“先声明不变性／守恒律，然后只允许动作那些保持这些不变性”的方式。
四、例子与具体参数
举一个具体的例子，设定参数：
初始供应 S0=1S_0 = 1
初始储备 R0=1R_0 = 1
κ=F=0.5\kappa = F = 0.5 （reserve ratio 是 0.5）
则守恒函数：
S0.5R=V0=10.51=1\frac{S^{0.5}}{R} = V_0 = \frac{1^{0.5}}{1} = 1
所以
R=S0.5R = S^{0.5}
边际价格：
P(S)=dRdS=12S−0.5P(S) = \frac{dR}{dS} = \frac{1}{2} S^{-0.5}
这里随着 SS 增加，PP 会下降，典型是边际价格随着供给增加而下降，这里供给越大价格越低 ——但是这只是边际价格；买入新的代币需要支付的总金额是积分：
Cost(S→S+ΔS)=∫SS+ΔSP(u) du=∫SS+ΔS12u−0.5 du=[u0.5]SS+ΔS\text{Cost}(S \to S + \Delta S) = \int_{S}^{S + \Delta S} P(u) \, du = \int_{S}^{S + \Delta S} \frac{1}{2} u^{-0.5} \, du = [u^{0.5}]_{S}^{S + \Delta S}
如果你希望价格随供给 上升 而上升（通常 bonding curve 是价格随供给上升价格也上升的情形），则 κ\kappa 要大于 1，或者设计成像上面 P(S)=κSκ−1V0P(S) = \frac{\kappa S^{\kappa-1}}{V_0} 那样，当 κ>1\kappa > 1，你得到增长函数。
五、来源 /关键文献
下面是比较核心、权威，以及讲得比较形式化的文献，你若要深入读它们里边的证明、模型假设，非常有帮助。
“From Curved Bonding to Configuration Spaces” (Michael Zargham, Jamsheed Shorish, Krzysztof Paruch, 2019) —机制设计 + 状态空间 +守恒函数框架。PDF 文章全文在 Vienna University Research。 (arXiv)
“Token Bonding Curves” on yos.io / Medium 的解释／Bancor 风格公式，包括求 “purchase return” 与 “sale return” 的公式推导。 (Yos Riady · Software Craftsman)
“Bonding Curves and Bonding Curve Accessories” by Meni Rosenfeld 等博客／Medium 文本，讨论仓储比率、敏感性、初始参数设定等。 (Medium)
六、可能的严格定理／命题说明
下面我可以写一个典型的形式命题（草稿形式），说明在这些模型中可证明的性质：
命题（储备充足性与状态限制） 在一个 bonding curve 模型中，假设初始状态 (S0,R0)(S_0, R_0) 给定，且 reserve ratio F∈(0,1]F\in (0,1] 或者等价地守恒函数参数 κ>0\kappa >0 给定，并假设买入／卖出操作按照 Bancor 样式公式（上面那种 purchase-return 与 sale-return）执行，则对于任何通过一系列 buy（mint）或 sell（burn） 操作从初始状态到新的状态 (S,R)(S,R)，都有：
R>0R > 0
并且状态 (S,R)(S,R) 必须落在 configuration space
{(S,R):Sκ/R=S0κ/R0}\{ (S, R) : S^\kappa / R = S_0^\kappa / R_0 \}
上。 并且 spot price P(S)=dRdS=κSκ−1V0P(S) = \frac{dR}{dS} = \frac{\kappa S^{\kappa - 1}}{V_0}。 如果再假设交易手续费／滑点为零，那么任何购入量／赎回量的资金流与代币流可以通过上述购买／赎回公式计算。
这样的命题在 Zargham et al. 的论文里已被形式化地提出并讨论。 (WU Wirtschaftsuniversität Wien)
如果你愿意，我可以写一个完整的 proof sketch（带假设、命题、证明）基于 Zargham 等人的模型，或者为某个具体曲线（幂函数形式或 Bancor 形式）写出连续时间极限下的稳定性分析。你要哪个方向深入？
直观
好的，我来写一个更 直观 的版本，帮你把上面 PhD 级的推导转化成容易抓住直觉的理解。
1. Bonding Curve 是什么？
想象你开了一家“自动售卖机”，里面卖的是代币。
每次有人买，机器里的价格会自动上升；
每次有人卖回去，机器的价格会自动下降。 这就是 Bonding Curve：一条预先写在机器里的“价格曲线”，价格不靠买卖双方讨价还价，而是靠公式决定。
2. 为什么要这么做？
在普通市场里：
如果没人挂单，你想买，就可能买不到。
如果没人接盘，你想卖，就可能卖不掉。
Bonding Curve 的好处：
自动流动性：永远有人接单，因为就是合约接你的单。
价格透明：未来买一手要多少钱、卖一手能拿回多少，都能提前算出来。
早期激励：早买的人价格更便宜，随着供给量增加，价格越来越贵 → 鼓励早期参与。
3. 数学直觉
你可以把它看作一个 积分器：
“代币价格”是曲线的斜率（导数）。
“总花费”是曲线下面积（积分）。
举个最常见的幂函数例子：
P(S)=k⋅SαP(S) = k \cdot S^\alpha
SS：已经发行的代币数
k,αk, \alpha：参数，决定曲线的陡峭程度
如果 α>0\alpha > 0，每多买一点代币，价格就更贵一点（就像越来越陡的坡）。 如果 α<0\alpha < 0，则反过来，越买越便宜（通常不会这样设计）。
4. 一个买卖例子
假设曲线是 P(S)=SP(S) = S，也就是价格等于已经发行的代币数。
当供给是 10 的时候，边际价格 = 10。
你想再买 5 个代币，花费是多少？
花费 = 积分
∫1015S dS=12(152−102)=12(225−100)=62.5\int_{10}^{15} S \, dS = \frac{1}{2}(15^2 - 10^2) = \frac{1}{2}(225 - 100) = 62.5
所以，买 5 个代币不是 “5 × 10 = 50”，而是 更贵，因为随着你买入，价格已经被你自己推高了。
5. 跟 Uniswap 的关系
Uniswap 其实就是一种特殊的 Bonding Curve：
x⋅y=kx \cdot y = k
这条曲线保证：
买多了 token A，token B 就变少，A 的价格变贵。
卖多了 token A，token B 变多，A 的价格变便宜。
和上面讲的“自动售卖机”一模一样，只不过曲线换成了乘法关系。
6. 要点总结
Bonding Curve = 用公式写好的自动定价规则。
它让代币市场不需要人类挂单，价格跟着供给量自动跑。
数学上：价格是曲线的导数，花费是积分。
直觉上：买得越多，坡越陡；卖回去，坡往下滑。
要不要我帮你画一张 价格曲线的示意图（比如线性、幂函数、Uniswap 曲线三种对比），让你一眼看到不同 bonding curve 的感觉？
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